Maria de Fátima Almeida -UERJ
Carolina Lima-UERJ
Clarissa Lima- UERJ
O presente trabalho é fruto de uma parceria entre a 11ª CRE-SME e a Universidade do Estado do Rio de Janeiro (UERJ). Os jogos, aplicativos, brincadeiras e “matemágicas” que aqui apresentamos foram inspirados em experiências na sala de aula ou em pesquisas bibliográficas. As atividades foram aprimoradas a partir da aplicação com estudantes e dos debates em nosso grupo de trabalho (GT), na perspectiva de torná-las ainda mais dinâmicas e atrativas, instigando a curiosidade e despertando o espírito investigativo dos aprendizes.
Consideramos fundamental que cada estudante exerça um papel ativo em seu aprendizado, a partir da experimentação e elaboração de conjecturas. Num ambiente lúdico e agradável, buscamos que nossas alunas e alunos adquiram o gosto pelo desafio e a habilidade na resolução de problemas. Para isso, é importante que se perceba o erro como uma oportunidade de superação e aquisição de um novo conhecimento, a ser entrelaçado com os anteriores.
Valorizamos a experiência de vida, a cultura e a história de cada estudante e estimulamos que eles e elas se expressem, explicitando suas dúvidas e seus entendimentos, a fim de que organizem suas ideias e fortaleçam a auto-estima. Nossa vontade de compartilhar a experiência acumulada no GT vem da certeza de que podemos contribuir para tornar a Matemática acessível e agradável para um número muito maior de jovens, que são a esperança para a construção de um mundo mais justo.
Assuntos trabalhados: A brincadeira pode ser feita utilizando-se apenas o cálculo mental. Numa discussão mais aprofundada, podemos trabalhar potências e escrita do número na base 2. No ensino médio, a atividade pode ser utilizada em aula introdutória de progressão geométrica.
Introdução: Um voluntário pensa em um número inteiro entre 1 e 99 e anota este número. Ele verifica se o número está ou não em cada um de 7 cartões cheios de números que lhe são apresentados. Se o número estiver no cartão, este deverá ser entregue ao mágico, caso contrário, o voluntário deve mantê-lo consigo. O mágico olhando os cartões recebidos, adivinha o número pensado.
Vídeo da atividade: inserir link
Material utilizado: Utilizamos os 7 cartões abaixo:
Descrição: O segredo está na montagem dos cartões. Você deve ter notado que os números iniciais dos cartões são: 1, 2, 4, 16, 32 e 64, todos potências de 2 . Em cada cartão entram todos os inteiros positivos até 99 tais que aquela potência de 2 inicial é uma das parcela do referido número, quando ele é escrito como soma de potências distintas da base 2. Por exemplo, o número 75=64+8+2+1 estará em 4 cartões: nos que começam respectivamente por 1,2, 8 e 64. Isto torna o trabalho do mágico simples: ao receber os cartões, basta que ele faça uma adição em que cada parcela é o primeiro número de cada cartão recebido. O número pensado secretamente é inevitavelmente o resultado da adição.
Desdobramento: Pode se pedir que os alunos façam uma sequência começando por 1, e tal que o próximo termo é sempre o anterior multiplicado por 2. Eles notarão que os sete primeiros termos obtidos são os números iniciais de cada cartão e ainda que cada um destes números é uma potência de 2.
Para trabalhar a representação de números na base 2, os alunos podem escrever alguns números entre 1 e 99 como soma de potências distintas de 2, identificando os coeficientes correspondentes. Por exemplo, 53 = 32 + 16 + 4 + 1, que estará presente nos cartões começados por cada uma das parcelas do membro direito, se escreve como 53 = 1.25 + 1.24 + 0.23 + 1.22 + 0.21 + 1. Em outras palavras, o “53” só aparece nos mesmos cartões das potências antecedidas pelo coeficiente “1”. O número 53 na base 2 se escreve como: 110101.
É interessante que os alunos registrem alguns exemplos de números entre 1 e 99 em uma tabela:
Explorando esta atividade, podemos pedir para que os estudantes observem as regras de formação dos cartões. Eles costumam notar que no primeiro cartão entram todos os números ímpares entre 1 e 99. Visto de outra maneira, colocamos o número 1, pulamos o 2, colocamos o 3, pulamos o 4, e assim por diante até chegarmos ao 99. O segundo cartão começa com 2. Colocamos dois números seguidos: 2 e 3. Pulamos o 4 e o 5. Colocamos então 6 e 7, pulamos 8 e 9. Continuamos assim até o maior número possível que não ultrapasse 99. Seria interessante que eles percebessem as regras de construção dos outros cartões, que são análogas. Neste sentido, podemos realizar uma abordagem introdutória de sequências.
Muitos estudantes ficam intrigados com o fato do adivinho recompor qualquer número entre 1 e 99 a partir da adição em que cada parcela é o primeiro número de cada cartão recebido. Eles ficam com a impressão de que não dá para obter tantos números assim. Para deixá-los ainda mais perplexos, peça que façam uma adição em que cada parcela seja o primeiro número de cada cartão, usando os 7 cartões. É muito comum eles responderem 99, sem fazer a conta, pois se fizessem veriam que é 127. Observamos que se continuássemos a preencher cada um dos cartões, com a regra de formação esboçada no parágrafo anterior, só que em vez de parar em 99, parando em 127, poderíamos propor que o voluntário escolhesse um número inteiro entre 1 e 127.
Para alunos de Ensino Médio, é possível também explorar aspectos combinatórios. Quantos números diferentes poderíamos obter escolhendo uma quantidade arbitrária de cartões entre 1 e 7, e fazendo a adição em que cada parcela seja o primeiro número de cada cartão selecionado? Notamos que há duas decisões possíveis para cada cartão, escolhê-lo ou não. Como há 7 cartões, pelo princípio multiplicativo temos 27 modos de tomar estas decisões. Só que devemos excluir o caso de não escolhermos nenhum cartão. Assim há 27-1 = 127 números possíveis, como imaginávamos.
Outra abordagem do mesmo problema seria investigar de quantas maneiras poderíamos selecionar um cartão em 7, isto é, combinação de 7 elementos, tomados 1 a 1. Mas poderíamos também escolher dois cartões, assim teríamos que ver de quantas maneiras podemos escolher 2 cartões em 7, ou seja, a combinação de 7 elementos toma dos 2 a 2. A ideia seria somar todos os possíveis casos, considerando que poderíamos escolher entre 1 e 7 cartões, entre os 7 cartões disponíveis. Somando todas estas combinações, encontraremos também 127.
Enfim, com esta divertida adivinhação podemos abordar assuntos do ensino fundamental, como cálculo mental, introdução a potências e números escritos na base 2 e também assuntos do ensino médio como sequências e combinatória.
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Assuntos trabalhados: Fatoração, números primos, potências, experimentação matemática, introdução à linguagem algébrica.
Introdução: O mágico apresenta uma sequência de copas e uma sequência de espadas separadas por um coringa.
Então “embaralha” estas cartas, formando três pilhas da esquerda para a direita. Depois o “mágico”, junta as três pilhas, também da esquerda para a direita, sendo que as primeiras cartas a serem recolhidas vão ficando sobre as que são pegas depois. Em seguida ele mostra as cartas para o público evidenciando que elas estão misturadas. Para embaralhar mais ainda, ele as separa novamente em três pilhas e procede como anteriormente, mostrando ao público que as cartas ficam ainda mais misturadas. Aí ele diz que sabe a posição das cartas e que as fará voltar para o lugar. Então ele repete o processo uma terceira vez e mostra ao público as cartas, que se apresentam exatamente na mesma posição inicial.
Vídeo da atividade: inserir link
Material utilizado: Cartas de um baralho comum.
Descrição: Observamos que o mágico trabalhou com um total de 27 cartas (13 de espadas, 13 de copas e 1 coringa). Vemos ainda que três elevado ao cubo é 27. Se apresentássemos uma sequência de 8 cartas, para que as cartas voltassem para a posição inicial, poderíamos dividi-las em duas pilhas e repetir o processo 3 vezes, pois 8 é igual a dois elevado ao cubo. Assim, trabalhamos com a potência pk = n, onde n é o número de cartas, p é o número de pilhas e k é o número de vezes que o processo é repetido.
Desdobramento: Pense no seguinte desafio. Você possui 20 cartas, de Ás até 10 de copas e de Ás até 10 de espadas, que estão dispostas em ordem, primeiro as cartas de espadas, depois as de copas.
Como podemos embaralhá-las de modo que no final, todas as cartas voltem para suas posições iniciais? Observamos que 20= 2²x5. Na prática, separamos as cartas inicialmente em duas pilhas. Em seguida recolhemos as cartas e repetimos a distribuição outra vez em duas pilhas. Depois de novamente juntarmos as cartas em uma única pilha, as distribuímos em 5 pilhas e juntamos tudo. O resultado é que as cartas voltam às suas posições iniciais.
Observamos que em todos os exemplos mencionados distribuímos as cartas um número ímpar de vezes, no caso 3 vezes. Em algumas destas distribuições fizemos três pilhas, em outros duas pilhas. Será que conseguiríamos estimular nossos alunos a fazerem outros desembaralhamentos mágicos, explorando variadas situações? Colocamos abaixo uma tabela dos desembaralhamentos mágicos que fizemos:
A ideia é incentivar os estudantes a fazerem experimentos, nos quais praticarão a fatoração de números inteiros positivos.
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Assuntos trabalhados: Cálculo com números naturais. Resolução de problemas aritméticos. Introdução à linguagem algébrica.
Introdução: O mágico entrega uma pilha de cartas para alguém da plateia e pede que ele separe uma das cartas, sem mostrar ao mágico. A plateia deve memorizar a carta. Em seguida, a carta escolhida deve ser colocada sobre a pilha das cartas restantes. O mágico junta esta pilha com as outras cartas. Não tendo como saber qual é a carta, nem onde ela está, o mágico diz que as próprias cartas o dirão. Toma então o baralho e enuncia em voz alta os números em ordem decrescente, começando do 10, a cada número dito, uma carta do baralho é virada. A contagem é interrompida quando a carta mostrada coincidir com o número falado ou quando se chega no 1, sendo que neste último caso, tapa-se a pilha com uma carta, sem virá-la. Será feito mesmo procedimento até formar quatro bolos de cartas. Com as quatro pilhas formadas, o mágico captará a mensagem das cartas e descobrirá a carta escolhida pela plateia.
Vídeo da atividade: https://www.youtube.com/CoraçãoDasCartas
Material utilizado: Cartas de um baralho comum.
Descrição: Na verdade, a pilha entregue pelo mágico a alguém da plateia deve conter 9 cartas. A carta escolhida será então a nona de baixo para cima e a 44ª de cima para baixo, pois o baralho sem coringas possui 52 cartas. Quando a contagem é interrompida, o número da última carta colocada sobre a mesma indica o quanto falta para que a pilha tenha 11 cartas. A “mensagem das cartas” é a soma dos números que coincidiram com a fala em cada uma das quatro pilhas. Se essa soma for n, a enésima carta após a formação da quarta pilha será a carta escolhida pela plateia. Caso o mágico note que nenhuma carta em nenhuma das quatro pilhas coincidiu com a fala, a carta que cobriria a quarta pilha é a quadragésima quarta, portanto a carta escolhida pela plateia.
Desdobramento: Podemos desenvolver com os alunos as seguintes questões:
Assuntos trabalhados: Adição e subtração de números naturais. Estrutura do sistema decimal de numeração. Introdução à notação algébrica.
Introdução: Anuncie que você escreverá um número mágico em um pedaço de papel, escreva-o sem mostrar a ninguém e, depois, dobre. O mágico pede para um voluntário pensar ou escrever um número de três algarismos distintos. Por exemplo, ele poderia escolher o 481. Em seguida pede para o voluntário escrever o número de trás para frente, nesse caso seria o 184, e subtrair o menor número do maior, obtendo um resultado positivo, ou seja, 481-184=297. Caso o resultado da subtração possua dois algarismos, deve-se pedir que o voluntário preencha a casa das centenas com zero. Peça ao voluntário para pegar o resultado e escrevê-lo ao contrário, nesse caso o contrário de 297 é 792. O voluntário deve então somar o último número com o contrário dele. No exemplo, seriam: 792 + 297 = 1089. A surpresa é que esta soma coincide com o número escrito no papel pelo mágico.
Material utilizado: Um pedaço de papel para escrever o número mágico.
Descrição: O mágico deve escrever o número 1089 no papel. Independentemente do número escolhido, o resultado das operações solicitadas dá 1089. Caso o convidado tenha terminado com outro número, ele errou a conta durante o processo.
Desdobramento: Podemos aproveitar para fazer uma abordagem algébrica com os alunos. Para fixar ideias, suponha que o voluntário escolheu um número em que o algarismo que ocupa a casa das centenas, o qual chamaremos de a, é maior que aquele que está na casa das unidades, que será denotado por c. O algarismo da casa das dezenas será denominado b. Neste caso, as contas propostas podem ser organizadas de acordo com o diagrama abaixo:
Desta forma, podemos verificar que o resultado dará sempre 1089.
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Assuntos trabalhados: Cálculos aritméticos. Introdução a sequências.
Introdução: O mágico entrega um baralho completo, sem os coringas, a um voluntário e pede para que ele separe 3 cartas seguidas de um mesmo naipe, sem as revelar. O adivinho faz então quatro pilhas e solicita que o voluntário coloque uma das cartas escolhidas na pilha mais à esquerda, podendo cobri-la com algumas cartas da pilha ao lado. Em seguida, pede-se para ele colocar a segunda carta escolhida no segundo monte, e cobri-la com algumas cartas do monte adjacente à direita. Por fim, a terceira carta deve ser posta sobre o terceiro monte. O mágico faz então uma única pilha com os quatro montes, juntando as cartas da direita para à esquerda. Em seguida, o mágico fará duas pilhas com as cartas e eliminará todas as cartas de uma das pilhas. Irá repetindo este processo até sobrarem apenas as três cartas escolhidas pelo voluntário.
Vídeo da atividade: inserir link
Material utilizado: Cartas de um baralho comum.
Descrição: O segredo está na quantidade de cartas de cada pilha. Colocando as pilhas da esquerda para à direita, elas deverão conter respectivamente 10, 15, 15 e 9 cartas. Neste caso, o voluntário deve colocar as 3 cartas também da esquerda para à direita, uma em cada pilha, conforme descrito anteriormente.
Ao formar um único monte, o mágico deve juntar as pilhas da direita para a esquerda, de modo que as cartas escolhidas ficarão nas posições: 10ª, 26ª e 42ª, contando-se de cima para baixo. Na primeira fase do processo serão viradas e descartadas 26 cartas, todas em posições ímpares. Assim as 26 que sobraram serão separadas na segunda etapa em duas pilhas, descartando-se metade delas, todas em posições ímpares. Na terceira etapa eliminam-se as cartas em posição par, 6 cartas serão eliminadas, restando 7. Na última etapa 4 cartas serão eliminadas, todas em posição ímpar, sobrando exatamente as 3 cartas escolhidas pelo voluntário.
Desdobramento: Esta atividade pode ser explorada na introdução da ideia de sequências, restringindo-se a situação a um número finito de termos. Após explicar como a mágica é feita, podemos pedir para que os alunos acompanhem um exemplo passo a passo.
Para fixar ideias, imagine que o voluntário tenha escolhido 7♥ , 8♥ e 9♥ . Suponha que o 9♥ esteja na 10ª posição de cima para baixo, por ter sido a última carta a ser colocada por ele, o 8♥ na 26ª, e o 7♥ na 10ª posição, na pilha inicial de 52 cartas. Vamos criar uma sequência an, que associa a cada n a carta que ocupa a posição correspondente, de cima para baixo, na pilha.
Na figura, colocamos em amarelo as 9 cartas que estavam na pilha mais à direita, em rosa e verde claro, a representação das pilhas com 15 cartas e em azul, as cartas que estavam na pilha mais à esquerda.
Em que posições, de cima para baixo, estariam estas cartas, na pilha das 26 cartas que sobraram, depois de terem sido eliminadas as cartas de índice ímpar? Chamemos esta nova sequência, que terá 26 termos, de bn.
O 9♥ vai ser a 5ª carta de baixo para a cima. Como a nova pilha terá 26 cartas, haverá 21 cartas sobre ela, portanto ela será a 22ª carta de cima para baixo, daí utilizarmos a notação b22 para ela. Com raciocínio análogo o 8♥ que estava na 26ª posição de cima para baixo, estará na 13ª posição de baixo para cima, entre as cartas que restaram. Haverá 13 cartas sobre ela, assim ela será a 14ª carta de cima para baixo. Logo b14 = 8♥ . De modo parecido, concluímos que b6 = 7♥
Como vimos, na nova sequência as cartas ocuparão posições pares, assim podemos eliminar as cartas que ocupam posições ímpares. Retirando as cartas de índice ímpar, sobrarão apenas 13 cartas, chamaremos de cn esta nova sequência.
O 7♥ será a terceira carta de baixo para cima, logo haverá 10 cartas sobre ela, assim ela será a 11ª carta de cima para baixo. Logo c11 = 7♥ . Usando um raciocínio análogo, percebemos que c7 = 8♥ e c3 = 9♥ . Desta vez as cartas caíram em posições ímpares. Assim, devemos eliminar as cartas em posição par. Após esta eliminação, restarão apenas 7 cartas. Chamemos a nova sequência de dn.
O 9♥ será a segunda carta de baixo para cima, portanto a sexta carta de cima para baixo. Assim d6 = 9♥ . Analogamente, d4 = 8♥ e d2 = 7♥ . Novamente todas as cartas caíram em posições pares. Assim devemos eliminar as cartas em posições ímpares. No final, apenas as cartas que foram escolhidas pelo voluntário sobrarão na pilha.
É interessante observar que trabalhamos com operações aritméticas, notação algébrica e introdução a sequências a partir da motivação de entender por que a adivinhação funciona.
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Assuntos trabalhados: Introdução a números inteiros. Comparação de números inteiros. Operações com números inteiros.
Introdução: A uma distância combinada, os jogadores tentam acertar bolinhas em recipientes numerados com números inteiros. Vence o jogador que conseguir a maior soma.
Vídeo da atividade: https://www.youtube.com/CestadeNúmerosInteiros
Material utilizado: Copinhos contendo números inteiros no fundo, organizados em uma determinada configuração, bolas de pingue-pongue.
Descrição: Os jogadores tentam acertar, por exemplo, 3 bolinhas nos recipientes. Se o primeiro jogador acertar, por exemplo, os números 7, -5 e 3, ele somará 5 pontos. Se o segundo jogador acertar os números 3, 7 e -6 ele fará 4 pontos. Neste exemplo, o primeiro jogador seria o vencedor da rodada. O jogo pode ser feito com vários jogadores, ou em equipes, onde cada jogador lança uma bolinha.
Desdobramento: Podemos estimular que os estudantes participem de algumas variações na brincadeira, por exemplo, permitindo uma variação na disposição dos recipientes. Pode-se estipular um número negativo com módulo superior aos números indexados aos recipientes, para o caso da bola não cair dentro de nenhum recipiente. As regras podem ser adaptadas para trabalharmos também o conceito de módulo.
✏ Ficha do aluno
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Assuntos trabalhados: Algoritmo da divisão, resto da divisão, cálculo mental.
Introdução: O jogo trabalha a operação da divisão. A ideia é efetuar a divisão mentalmente e calcular o resto. Após lançar o dado, o jogador deve avançar o número de casas correspondentes ao resto da divisão do número da casa em que se encontra pelo número tirado no dado. Vence quem chegar primeiro na casa “Fim”.
Vídeo da atividade: https://www.youtube.com/JogodoResto
Material utilizado: Dado e peças para representar o boneco de cada jogador.
Descrição: João e Isa iniciam uma partida. Isa começa o jogo tirando o número 3 no dado, logo, 25 dividido por 3 deixa resto 1, o boneco da Isa anda uma casa. Agora é a vez do João, ele tira o número 4 no dado, assim, 25 dividido por 4 deixa resto 1, o boneco do João anda uma casa. Ganha quem chegar ao “Fim” primeiro.
Desdobramento: Podemos levantar com os alunos questões como:
Assuntos trabalhados: Cálculo mental, introdução a números inteiros.
Introdução: No jogo são utilizados dois baralhos, excetuando-se coringas, valetes, damas e reis, perfazendo-se um total de 80 cartas. Número de jogadores: 4 a 8. Regras do jogo:
Em valor absoluto, o Ás vale um, e cada uma das demais cartas vale o número que ela indica. Os naipes vermelhos representam cartas negativas, e os pretos, cartas positivas. Todas as cartas são colocadas em uma pilha, com a face que a distingue voltada para baixo. Vira-se uma carta sobre a mesa. Um dos jogadores compra uma carta da pilha, dando início ao jogo.
Quando um jogador consegue obter “soma zero” juntando a carta comprada com uma ou mais cartas expostas na mesa, ele as recolhe, colocando-as em seu bolo. Aí ele tem o direito de comprar uma nova carta, até que não consiga mais retirar uma ou mais das que se encontram na mesa. Isto acontecendo, a carta não utilizada deve ser descartada, e a vez passada para o próximo jogador.
Vídeo da atividade: inserir link
Material utilizado: Dois baralhos.
Descrição: Eis o exemplo de uma rodada, com quatro jogadores, supondo-se que a carta inicial virada sobre a mesa é o 5♥
Desdobramento: A atividade estimula estratégias de cálculo mental, que podem ser objeto de discussão do grupo, assim como o levantamento das propriedades operatórias usadas no decorrer do jogo. Em algumas situações, há mais de uma maneira possível de combinar as cartas da mesa com a carta comprada, de modo a fazer soma zero. Vejamos um exemplo:
É conveniente discutir estas situações, ilustrando para os alunos que um problema pode ter mais de uma solução. Se todas as contas tiverem sido feitas corretamente, no final, não sobrará nenhuma carta na mesa. É interessante discutir com a turma qual é a razão deste fato. Caso sobrem cartas, pode-se pedir para cada jogador conferir se o bolo que recolheu possui soma zero, tentando-se localizar onde foi o erro. Depois de alguma familiaridade com o jogo, principalmente quando aplicado a partir do sétimo ano, é interessante formalizar a ideia de que subtrair y de x, equivale a somar x com o simétrico de y, podendo-se ainda empregar a linguagem matemática para exprimir a situação: x-y= (+x) + (-y). No jogo, a situação é trabalhada no caso em que x é maior ou igual a y. ✏ Ficha do aluno ✓ Sugestão de resposta - Ficha do aluno ↺ Voltar ao índice
Assuntos trabalhados: Comparação de frações.
Introdução: O jogo pode ser realizado com 4 participantes, utilizando cartas com frações, podendo ser próprias ou impróprias. Embaralham-se as cartas e cada jogador recebe 3 cartas, colocando-se as demais numa pilha. Leva a rodada quem descartar a maior fração. O vencedor da rodada, que deve recolher as cartas em uma pilha à parte, é também o primeiro a jogar na rodada seguinte. Antes da nova rodada, todos devem comprar uma carta do monte, mantendo-se com três cartas, enquanto isto for possível. O jogo termina quando todos os jogadores ficarem sem cartas. Vence quem tiver recolhido o maior número de cartas.
Vídeo da atividade: inserir link
Material utilizado: Eventualmente, o professor leva as frações prontas. Por exemplo, poderia utilizar as frações abaixo.
Molde da atividade
Descrição: João, José, Maria e Lucia participam do jogo. Após embaralharem, cada um recebe respectivamente 3 cartas. João recebe as cartas 2/3, 41/21 e 18/61, José recebeu as cartas 3/5, 4/7 e 19/67, Maria recebeu as cartas 16/53, 37/22 e 5/3, e Lucia recebeu as cartas 29/10, 10/29 e 11/5. Estrategicamente, todos os jogadores escolheram sua maior carta: João escolheu 41/21, José escolheu 3/5, Maria escolheu 37/22 e Lucia escolheu 29/10. Quem ganhou essa rodada foi a Lucia, então, ela recebe todas as cartas da rodada. Vence quem obter o maior número de cartas.
Desdobramento: O professor pode problematizar com os alunos as seguintes situações específicas, levando a uma discussão conceitual do assunto:
Podemos ainda sugerir que os alunos selecionem duas frações no jogo, decidam qual é maior e construam uma justificativa. ✏ Ficha do aluno ✓ Sugestão de resposta - Ficha do aluno ↺ Voltar ao índice
Assuntos trabalhados: Equivalência de frações. Frações irredutíveis.
Introdução: O jogo possui 21 cartas, sendo 1 coringa e 4 grupos de 5 cartas, sendo cada grupo composto por frações equivalentes e deve ser realizado com 4 participantes. As cartas são embaralhadas e distribuídas entre os jogadores, cada jogador receberá 5 cartas sendo que um ficará com 6 e iniciará o jogo. Este jogador escolhe uma de suas cartas e passa a mesma para o jogador a sua esquerda. O jogo prossegue, sempre com um jogador passando uma carta para o jogador seguinte. Quem receber o coringa deve ficar com ele por no mínimo uma rodada inteira, devendo passar outra carta. Quando um jogador formar uma sequência com 5 frações equivalentes, vencerá o jogo.
Vídeo da atividade: inserir link
Material utilizado: Num jogo, poderíamos ter, por exemplo, as seguintes cartas:
Molde da atividade
Descrição: Para que os estudantes compreendam melhor a estrutura do jogo, é conveniente pedir que antes da primeira rodada, eles procurem juntos agrupar as frações equivalentes presentes no jogo. Eles deverão perceber os seguintes agrupamentos:
Caso haja mais de 4 participantes, por exemplo 5 jogadores, basta criar um novo grupo de frações equivalentes, digamos a 1/6, contendo 5 cartas.
Desdobramento: Após identificar os grupos de frações equivalentes presentes no jogo, podemos perguntar aos alunos que estratégias poderíamos utilizar para verificar a equivalência destas frações. Algumas possibilidades de abordar o assunto:
• Pedir para que os alunos simplifiquem as frações para observarem que quando as frações são equivalentes, elas estão associadas à mesma fração irredutível.
• Pedir que eles dividam o numerador pelo denominador, de modo a perceberem que o resultado será igual, se as frações forem equivalentes.
Podemos ainda montar jogos similares agregando outras formas de representação das frações, de modo a trabalhar o conceito. ✏ Ficha do aluno ✓ Sugestão de resposta - Ficha do aluno ↺ Voltar ao índice
Assuntos trabalhados: Identificar faces, arestas e vértices de formas espaciais não arredondadas.
Introdução: A partir da cópia das planificações, os sólidos devem ser montados.
Material utilizado: Planificações dos sólidos, a serem montados pelos estudantes.
Molde da atividade
Descrição: Para cada um dos sólidos, identificar o número de vértices, faces e arestas.
Os Sólidos também podem ser vistos no aplicativo Geogebra ✏ Ficha do aluno ✓ Sugestão de resposta - Ficha do aluno ↺ Voltar ao índice
Assuntos trabalhados: Soma de frações, equivalência de frações.
Introdução: O número ideal de jogadores é quatro. Para iniciar a brincadeira o jogador lança dois dados. Se os números forem diferentes, considere a fração cujo numerador é o menor número e o denominador é dado pelo outro valor. Pegue o pedaço de “pizza” correspondente. Ganha o jogador que completar primeiro 3 pizzas inteiras a partir da junção das frações tiradas nos dados. Caso os números dos dados forem iguais, o jogador preenche uma pizza inteira.
Vídeo da atividade: https://www.youtube.com/JogodaPizza
Material utilizado: O material inclui dois dados, círculos inteiros e setores circulares de 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 e 1/6 do círculo, para representar fatias da pizza (para facilitar a divisão utilize um transferidor com as angulações de 180º para 1/2, 120º para 1/3, 90º para1/4, 72º para 1/5, e 60º para 1/6). Quantidades: 9 círculos inteiros, 12 setores circulares de 1/2, 18 setores circulares de 1/3, 18 setores circulares de 1/4, 18 setores circulares de 1/5, 18 setores circulares de 1/6.
Molde da atividade
Descrição: Digamos haja 2 jogadores e que o primeiro jogue os dados e tire os número 2 e 3, logo, a fração fica 2/3, ou seja, ele deve adicionar dois pedaços de 1/3. Agora, é a vez do segundo jogador. Ele joga o dado e tira 1 e 2, logo, ele pega o setor da circunferência que corresponde 1/2. E assim vai seguindo o jogo, até alguém complete .
Desdobramento: É interessante que os estudantes confiram se o que eles estão visualizando como uma pizza inteira é realmente uma unidade ou algo próximo a uma unidade. Para verificar isto, convém pedir que eles somem as frações correspondentes a cada unidade obtida. Vejamos os seguintes exemplos:
Exemplo 1: O jogador tirou nos dados 1/2, 1/3 e 1/6:
Exemplo 2: O jogador tirou nos dados 2/5, 1/3 e 1/4. Juntando as frações ele pode ter a impressão de que conseguiu completar uma pizza. Porém, fazendo as contas, obtemos:
Caso haja alguma dificuldade por parte dos estudantes em efetuarem os cálculos, sugerimos a utilização de papel quadriculado para auxiliar no entendimento. Neste segundo exemplo poderíamos utilizar como unidade um retângulo contendo 60 quadradinhos e nele representarmos com padrões diferentes as frações correspondentes a 2/5, 1/3 e 1/4. Veremos que sobrará um quadradinho.
Nesta atividade surge uma motivação para efetuar a adição de frações. Outro ponto positivo é que os alunos, a partir da representação gráfica das frações, melhoram o entendimento sobre a comparação de frações. Por exemplo, fica fácil observar que 2/5 é um pedaço menor que ½, embora os algarismos usados no numerador e denominador da primeira fração sejam maiores do que os usados para representar a segunda. ✏ Ficha do aluno ✓ Sugestão de resposta - Ficha do aluno ↺ Voltar ao índice
Assuntos trabalhados: Decompor um número em fatores primos.
Introdução: O objetivo é obter todos os fatores primos que compõe os números que aparecem na cartela. As cartelas são apresentadas pelo professor.
Vídeo da atividade: https://www.youtube.com/BingodaFatoração
Material utilizado: 13 fichas com o número 2; 10 fichas com o número 3; 10 fichas com o número 5; 11 fichas com o número 7; 7 fichas com o número 11; 8 fichas com o número 13. E duas cartelas por grupo.
Molde da atividade
Descrição: Em cada rodada o professor ficará responsável por pegar uma das fichas e cantar para os jogadores, quem tiver o número em sua cartela poderá marcá-lo, apenas uma vez. Ganha o grupo que preencher primeiro as duas cartelas.
Desdobramento: Uma possível abordagem para a decomposição de um número em fatores primos, é pedir que os alunos escrevam o número pedido, como o produto de dois outros números. Por exemplo, 650=65x10. Se os fatores não forem números primos, repetimos o processo para cada um deles. Neste caso, obtemos: 650=5x13x5x2, pois 65=5x13 e 10=2x5. Poderíamos ainda juntar os fatores comuns, utilizando a notação de potência e escrever a fatoração como: 650=2x5²x13. Assim, podemos propor exercícios conforme o modelo abaixo.
363= 3 x 121 = 3 x 11 x 11 = 3 x 11²
260= ___x___ = ____x____x____x____ = 2²x5x13
182= ____x____ = ____x____x____
462= ____x____=____x____x____=____x____x____x____
É interessante que o aluno proponha diferentes formas de organizar os produtos, quando possível, de modo a chegar à mesma fatoração. Embora este processo pareça simples, pois podemos testar os divisores dos números, ele pode tornar-se bastante trabalhoso e difícil de executar, quando trabalhamos com números grandes. Ainda com números relativamente pequenos podemos gerar exemplos não tão óbvios. Como fatorar 5963? Seria um número primo? É possível verificar que 5963=67x89. Porém, mesmo com o auxílio de computador, ficaria impraticável a fatoração de certos números, para quem não sabe os primos usados para montá-lo. Há métodos de criptografia que exploram esta dificuldade, valendo-se de números muito grandes, que aparentam ser primos. ✏ Ficha do aluno ✓ Sugestão de resposta - Ficha do aluno ↺ Voltar ao índice
Assuntos trabalhados: Relações métricas no triângulo retângulo. Notação algébrica.
Introdução: Uma atividade que contempla as relações métricas mais utilizadas, para que os alunos observem e construam a partir da semelhança entre triângulos.
Material utilizado: Montar três triângulos retângulos de papel, ou seja, faça inicialmente dois triângulos retângulos iguais. Um deles será dividido em duas partes, recortando-se a altura relativa à hipotenusa.
Descrição: Com os triângulos recortados, encaixe os dois triângulos menores no maior.
Os triângulos são semelhantes? Peça que os alunos movam as figuras para intuírem a resposta. Por fim, julgue se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, considerando-se a notação usada nas figuras.
Desdobramento: Podemos montar no geogebra um aplicativo para trabalharmos este problema de modo que possamos colocar os triângulos em posições fáceis de ver a semelhança. É possível ainda usar comandos para verificar que os ângulos são iguais, assim como verificar se as afirmações acima são verdadeiras ou falsas. Mova as peças e confira:
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Assuntos trabalhados: Teorema de Pitágoras. Conceito de área.
Introdução: Existem diversas maneiras de tentar convencer nossos alunos de que o teorema de Pitágoras é verdadeiro. Esta justificativa trabalha com a equivalência de áreas. Para montarmos o quebra-cabeça, recuperamos o quadrado “da hipotenusa”, isto é, o quadrado cujo lado mede a hipotenusa de um dado triângulo retângulo, juntando-se os quadrados “de seus catetos”, isto é, adicionando o quadrado cujo lado é o cateto menor do triângulo, com o quadrado cujo lado é o cateto maior do triângulo. No quebra-cabeças, estes dois últimos quadrados aparecem particionados de forma convenientes.
Material utilizado: Os dois quadrados adjacentes aos catetos do triângulo retângulo ABC devem ser recortados. Estes quadrados precisam se encaixar no quadrado adjacente à hipotenusa. O quadrado adjacente ao cateto maior precisa ser subdivido nos polígonos indicados na figura para que se possa fazer o encaixe. Os alunos podem manipular o material concreto, ou ainda, usar um aplicativo no Geogebra para fazerem a montagem. Mova as peças e monte o quebra-cabeça:
Descrição: De acordo com a figura abaixo, subdividimos o quadrado adjacente ao cateto maior a partir dos segmentos DF e GE. Observamos que DF é paralelo ao segmento CB, e que o ponto E foi estabelecido de modo que o segmento AE seja congruente ao lado menor do triângulo ABC. É interessante constatar que a partir desta construção todas as peças irão se encaixar de modo conveniente, desde que montadas como indicado na figura.
Desdobramento: Um método para encontrar não só alguns, mas todos os termos pitagóricos primitivos é obter termos no modelo (u2 - v2 , 2uv, u2 + v2) com u e v positivos, primos entre si, não ambos ímpares e u>v. Por exemplo, se u=2 e v=1, obtemos o termo primitivo (3,4,5).
Tomando u=4, v=3, obtemos o termo (7,24, 25).
Invente outros valores para u e v, obtendo assim as medidas x, y e z de um triângulo pitagórico.
Em seguida, podemos pedir para os estudantes construírem os triângulos retângulos em uma folha de papel quadriculado, assim como os quadrados adjacentes aos catetos e à hipotenusa, conforme a figura.
A partir da contagem dos quadradinhos eles irão interpretar geometricamente o teorema de Pitágoras. A soma das áreas dos quadrados com lados dados pelos catetos vale a área do quadrado de lado determinado pela hipotenusa.
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Assuntos trabalhados: Completar quadrados. Equação quadrática. Cálculo mental.
Introdução: : Antes de iniciarmos o jogo, colocamos em discussão a solução da equação:
x2+6x-16=0. Os alunos observaram que o primeiro membro não é um quadrado perfeito, pois o termo independente é -16, em vez de 9. Explicamos então que podemos somar e subtrair 9 no primeiro membro, isto não altera a equação. Assim obtemos x2+6x+9-9-16=0, ou seja, x2+6x+9=25, isto é, (x+3)2 = 25. As soluções são 2 ou -8. O objetivo do jogo é tornar o aluno familiarizado com esta técnica: se dominá-la, ele estará muito perto de resolver qualquer equação de 2º grau, mesmo sem o auxílio de fórmulas.
Vídeo da atividade: inserir link
Material utilizado: Cartas do jogo das equações:
Molde da atividade
Descrição: Existem 4 cartas associadas a uma mesma equação. Exemplo de 4 cartas associadas:
O jogo apresenta 8 equações de referência e um total de 32 cartas, sempre seguindo o padrão apresentado no exemplo. São retiradas do jogo as 8 equações que estão no mesmo modelo que x2+8x+16-16+15=0. Divide-se a turma em 4 grupos, cada um recebendo aleatoriamente 6 das 24 cartas restantes. Sorteia-se uma das 8 cartas previamente reservadas. Cada grupo deve apresentar ao professor as cartas referentes à equação sorteada, se possuir. Fazem-se sucessivos sorteios, até que acabem as cartas de um dos grupos, este será o grupo vencedor.
Desdobramento: A técnica usada implicitamente no jogo é popularmente conhecida como “completamento de quadrados”. O nome dado ao processo pode ser ilustrado no exemplo x2+6x-16=0, ou seja x2+6x=16, interpretando-se o primeiro membro da equação como a soma da área de um quadrado de lado x , com as áreas de dois retângulos, cada um de área 3x, conforme a configuração apresentada à esquerda na figura abaixo. O segundo membro indica que estas áreas somadas valem 16.
Inserindo convenientemente um quadrado de lado 3 no lado esquerdo da figura, “completamos o quadrado” , que é mostrado no lado direito da figura, e que possui lado x+3.
Do ponto de vista algébrico, somando 9 (a área do quadrado de lado 3) em ambos os membros da igualdade x2+6x=16, obtemos: x2+6x+9=16+9, ou seja, (x+3)2=25.
No jogo, trabalhamos com a situação na qual a=1. Mas se na expressão ax2 + bx + c = 0. Se tivermos a≠0 e a≠1, basta dividirmos ambos os membros da igualdade por a, e caímos numa equação onde o coeficiente do termo quadrático é 1
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Assuntos trabalhados: Estudo de polígonos. O conceito de área. Áreas de figuras planas.
Introdução: Existem vários desafios interessantes que podemos fazer com Tangran. Um desafio bastante famoso é formar um quadrado usando as 7 peças
Material utilizado: Quebra-cabeça do Tangran
Molde da atividade
Descrição: Inicialmente podemos montar o Tangran usando o modelo ou a partir de dobraduras. Para entender melhor o material, podemos relacionar as áreas das figuras que aparecem no tangran. Por exemplo, usando uma das figuras como unidade, ou seja, considerando a área desta figura como 1, podemos assim explicitar as áreas das outras figuras, como mostra a tabela a seguir:
Assim, percebemos que o valor da área depende da unidade como que estamos efetuando a medida.
Desdobramento: Outras situações podem ainda ser exploradas com o Tangran, como por exemplo, as sugeridas abaixo:
Assuntos trabalhados: Lógica, conjuntos, introdução ao raciocínio combinatório.
Introdução: A lógica é uma área muito bonita da Matemática, que gostaríamos de enfatizar desde o ensino básico. Ela ajuda a organizar o raciocínio matemático e pode ser desafiadora e divertida, como procuraremos ilustrar no jogo desta atividade.
Vídeo da atividade: https://www.youtube.com/DominóLógico
Material utilizado: Podemos montar um material com: 12 quadrados, 12 círculos, 12 retângulos (não quadrados) e 12 triângulos. Por exemplo, entre os 12 quadrados, 6 serão pequenos, e 6 grandes. Tanto entre os grandes quanto entre os pequenos, metade será fino, metade será grosso. Entre os três finos, um será de cada cor (azul, vermelho e amarelo), o mesmo ocorrendo entre os três grossos. Algo similar ocorre para as outras formas. Para uma mesma forma, as figuras grandes e pequenas devem ter o mesmo formato. No caso do retângulo, basta, por exemplo, construir os retângulos grandes com o dobro da altura e largura utilizadas nos retângulos pequenos. Para facilitar a construção, use triângulos equiláteros, os grandes com o dobro do lado dos pequenos. Precisaremos também de um dado.
Molde da atividade
Descrição: Dividem-se as 48 peças igualmente pelos participantes, e se a divisão não for exata, as peças restantes são colocadas para a “compra”. A cada número do dado, associam-se dois dos quatro atributos envolvidos nas peças do material. Podemos associar, por exemplo:
Dependendo da turma, podemos ainda trabalhar inicialmente com regras mais simples, por exemplo, relacionando os quatro atributos (cor, espessura, forma e tamanho) respectivamente aos números 1,2,3 e 4. O número 5 poderia ser associado a passar a vez, e o número 6 a poder escolher o atributo preferido, por exemplo.
Começa quem tirar o número maior no dado. Digamos que o primeiro jogador coloque um triângulo fino azul e grande. O segundo jogador lançará o dado, se tirar, por exemplo “1”, ele poderá encaixar no dominó qualquer peça azul e fina. Digamos que ele ponha um quadrado, pequeno, azul e fino. O terceiro jogador lançará o dado, se tirar “4” deverá manter obrigatoriamente os atributos “forma e espessura”, em alguma das pontas. Assim a peça jogada pelo terceiro jogador poderia ser por exemplo um triângulo, fino, amarelo e pequeno, junto à peça usada pelo primeiro jogador, ou ainda, por exemplo, um quadrado, fino, vermelho e pequeno, ao lado da peça posta pelo segundo jogador. O jogo segue de forma análoga. Se o jogador não tiver nenhuma peça possível, ele compra, até obter a peça, ou passa, se não houver peças disponíveis para compra. Vence quem acabar as peças primeiro.
Desdobramento: O jogo leva a algumas reflexões matemáticas. Por exemplo: quantos elementos há na intercessão do conjunto das peças de espessura fina, com o conjunto dos quadrados? Isto equivale a perguntar quantos são os quadrados finos. Como há 3 opções para cor e 2 para tamanho, concluímos que há 6 quadrados finos no jogo. Diante de uma jogada, a discussão é útil para avaliar o número de soluções possíveis em cada conta, descontando-se as peças que já foram descartadas anteriormente no jogo. Na terceira jogada do exemplo anterior teríamos que colocar um triângulo fino em uma das pontas (6 possibilidades) ou um quadrado fino na outra ponta (6 possibilidades) num total de 12 opções. Mas como no jogo já saíram um triângulo fino e um quadrado fino, temos um total de 10 peças circulando no jogo para serem usadas nesta jogada. Podemos usar este material para explorar a etapa do retrospecto na resolução de problemas. Podemos explorar diversas questões de combinatória usando este material, inclusive trabalhando o retrospecto de problemas. No material temos 3 opções de cores, 4 opções para formas, 2 para tamanho e 2 para espessura. Pelo princípio multiplicativo teríamos então: 3x4x2x2 = 48 peças, o que pode ser verificado a partir da contagem das peças do jogo.
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Assuntos trabalhados: Raciocínio lógico, números naturais, cálculo mental, sequências, números inteiros.
Introdução: Este jogo é inspirado no jogo Rummikub. O objetivo do jogo é trabalhar o cálculo mental em contas envolvendo números naturais, desenvolver o raciocínio lógico e contextualizar operações com números inteiros.
Vídeo da atividade: inserir link
Material utilizado: 2 baralhos.
Descrição: Cada jogador recebe onze cartas, as demais ficam no bolo de compras. O objetivo é eliminar todas as cartas da mão. Quando for descartar a última carta, o jogador deverá dizer: “Sim, eu posso”. Seu número de pontos será dado pela soma do valor das cartas que estiverem na mão dos adversários. Cada jogador que tiver perdido a rodada ficará com um número de pontos negativos, correspondente às cartas não descartadas. São aceitas: trincas ou quadras de cartas de mesmo número ou figura, porém com naipes diferentes. Outra possibilidade é fazer sequências de cartas de mesmo naipe.
Os jogadores poderão usar suas cartas no jogo que estiver montado na mesa, inclusive modificando o jogo, quebrando sequências, etc. Quando não houver nenhuma colaboração a dar, o jogador deve comprar uma carta, só podendo fazer interferências na rodada seguinte. Mas atenção, o primeiro descarte deve ter um valor mínimo de 15 pontos, só depois o jogador poderá interferir no jogo da mesa.
As cartas numéricas valem o número indicado, o Ás vale 1, o valete vale 11, a dama 12 e o rei 13. O coringa vale a carta que ele estiver substituindo no jogo, porém se outro jogador vencer, o jogador que estiver com o coringa na mão perderá 30 pontos. Após 4 rodadas, vence o jogador que fizer o maior número de pontos positivos.
Desdobramento: É interessante pedir para que os estudantes registrem cada rodada e discutam os resultados obtidos em cada uma delas. Por exemplo, digamos que Aline, Bruna, Carlos e Douglas estejam jogando e tenham obtido os seguintes resultados até o final da segunda rodada.
Primeira rodada:
Segunda rodada:
Se a partida encerrasse com apenas duas jogadas, o vencedor seria Carlos, seguido de Aline, Douglas e por último Bruna. Notamos que a ordenação de números inteiros está sendo trabalhada, assim como a operação de adição.
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Assuntos trabalhados: Operações com números naturais, introdução à linguagem algébrica, fatoração, números primos.
Introdução: A partir de algumas brincadeiras simples, podemos despertar o interesse do estudante pela Matemática. Este conhecido jogo pode ser usado desde as séries iniciais para consolidar o sistema decimal e operações como adição e multiplicação, assim como no segundo segmento do ensino fundamental, trabalhando-se a fatoração de um número em fatores primos e a introdução à notação algébrica.
Material utilizado: Jogo de pega-varetas. Este jogo é formado por 25 peças: 1 preta, 6 azuis, 6 amarelas, 6 vermelhas e 6 verdes.
Descrição: Começamos identificando as peças que compõe o jogo Pega Varetas. Atribuímos um número de pontos a cada cor, ou usamos a pontuação indicada (preta: 50 pontos, azul: 20 pontos, amarela :15 pontos, vermelha: 10 pontos, verde: 5 pontos). Cada jogador, em sua vez, tenta retirar varetas sem que as outras sejam mexidas. Se alguma outra vareta for movida, a vez deve ser passada ao jogador seguinte. No final, os pontos são contados. Vence o jogador com mais pontos.
Desdobramento: Para evitar acidentes, podemos usar um material alternativo, como palitos de churrasco com pontas cortadas ou palitos de pirulitos, que poderiam ser pintados pelos alunos. Se associarmos números primos a palitos de cores diferentes podemos trabalhar decomposição de um número em fatores primos, como uma atividade extra a ser feita com o jogo.
Neste contexto de fatoração, podemos considerar o azul valendo 2, o amarelo 3, o vermelho 5, o verde 7 e o preto 11. Digamos que um estudante, ao final do jogo, tenha conseguido pegar 5 peças amarelas, 3 peças vermelhas, e a peça preta, então ele terá feito: (25)(53)11 = 4(103)11 = 44000.
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Assuntos trabalhados: Conceito de área. A partir da área do retângulo, dedução intuitiva da área do paralelogramo, do triângulo e do trapézio.
Introdução: Podemos estudar a área de triângulos, paralelogramos e trapézios por meio de quebra-cabeças.
Material utilizado: Figuras para montar o quebra-cabeça. Mova as peças e confira
Molde da atividade
Descrição: O material apresenta polígonos como paralelogramos e trapézios. São sugeridas decomposições de algumas das figuras em duas partes. A ideia é verificar a relação entre a área de polígonos, a partir de montagem de quebra-cabeça usando as peças, o que pode ser feito recortando-se as figuras, ou movendo-as na tela do computador. Desta forma, podemos chegar a intuir as fórmulas tradicionalmente usadas para áreas de paralelogramos, triângulos e trapézios, a partir da área do retângulo.
Desdobramento: 1)Usando as figuras D e A, verifique que a área do paralelogramo é a mesma área de um retângulo de mesma base e mesma altura. Sugestão: Parta o retângulo D, na linha indicada e sobreponha suas peças sobre a figura A. No livro digital, é possível movimentar as partes da figura D, de modo que elas fiquem sobre o paralelogramo A.
2)Repita o exercício anterior usando as figuras G e E.
3)Recorte o paralelogramo da figura A. Compare a área dos dois triângulos formados. Faça o mesmo com o paralelogramo da figura F. Será que com dois triângulos iguais, sempre conseguimos formar um paralelogramo? Em caso positivo, qual é a relação da área do triângulo com tal paralelogramo?
4) Sabendo-se que os lados do retângulo da figura B são 4 e 2 e que a figura G é um quadrado de lado 2, calcule a área de todas as figuras (A,B,C,D,E,F,G). Dica: Se necessário, sobreponha ou mova figuras para descobrir medidas relevantes. Use os conhecimentos que você intuiu trabalhando nos itens anteriores.
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Assuntos trabalhados: Fundamentação de resolução da equação polinomial de primeiro grau.
Introdução: Nesta atividade abordaremos como descobrir o valor desconhecido de alguns tipos de igualdade algébrica, particularmente, trabalharemos com equações polinomiais de primeiro grau, a partir de uma representação gráfica. A atividade envolve o conceito de resolução de equação, pois o aluno é levado a verificar se um número é ou não raiz de uma equação.
Vídeo da atividade: inserir link
Material utilizado: 40 cartas que podem ser encontradas abaixo. Nas cartas temos a representação de 10 equações, cada equação tem 4 cartas que a representam.
Molde da atividade
Descrição: A quantidade de jogadores pode variar de 2 a 5. Cada participante receberá 5 cartas. As que sobrarem ficarão viradas e dispostas em um bolo na mesa. Os jogadores podem ver o jogo do outro.
O objetivo do jogador é conseguir juntar 3 ou 4 cartas que representem a mesma equação. Para isso, na sua vez, ele deverá comprar e jogar fora cartas. A cada carta comprada, o participante deve descartar e deixar visível na mesa uma das que estão na sua mão. Ele pode comprar as cartas do bolo ou as cartas que os outros participantes descartaram.
Depois da jogada do primeiro participante, passa-se a vez para o da esquerda. Quando um jogador tem 3 ou 4 cartas relativas à mesma equação, elas podem ser baixadas na mesa. Se o jogador baixar só 3 cartas e mais tarde chegar na sua mão a quarta carta relativa à equação, ele pode juntá-la as que estão baixadas. A “canastra” com 3 cartas vale 30 pontos e a canastra com 4 cartas vale 40 pontos. Quando o jogador acaba com as cartas que estão na sua mão consegue a “batida”, que vale 50 pontos.
Se as cartas da jogada não forem da mesma equação, obviamente o jogador não terá os pontos. O jogo se encerra quando não há mais cartas no bolo ou quando alguém consegue a “batida”. Vence quem somar mais pontos.
Desdobramento: Sugerimos que alguns exemplos que aparecem no jogo sejam estudados passo a passo, de modo que o estudante consolide os conceitos. Por exemplo, podemos pedir que ele “ajeite” a balança de modo que os potes fiquem em um dos pratos, enquanto os pesinhos ficam no outro. Porém, esta operação deve ser feita de modo a manter sempre a balança equilibrada. No quadrinho abaixo, descrevemos a matemática por trás da atividade lúdica.
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Assuntos trabalhados: Comparação de números inteiros relativos. Adição algébrica de números inteiros relativos
Introdução: Matix é um quebra-cabeça que tem por objetivos favorecer o desenvolvimento do pensamento matemático, auxiliar no processo de generalização matemática e promover o desenvolvimento do raciocínio, exercitando e estimulando um pensar com lógica e critério, interpretando informações, buscando soluções, levantando hipóteses e coordenando diferentes pontos de vista. Durante a partida, os jogadores têm a possibilidade de desenvolver sua capacidade de antecipar jogadas e de estabelecer estratégias de ação.
Vídeo da atividade: https://www.youtube.com/Matix
Material utilizado: Tabuleiro quadrado 6x6 (com 36 casas), 35 peças com números inteiros (possuindo positivos e negativos) e uma peça corinha.
Descrição: O jogo é feito em dupla, onde cada dupla deve ter apenas um tabuleiro. Os alunos embaralham as peças do jogo e as distribuem sobre o tabuleiro, aleatoriamente, com os números e a estrela virados para baixo. Os adversários devem tirar par ou ímpar, para saber quem irá jogar no sentido horizontal (linha) e quem irá jogar no sentido vertical (coluna) do tabuleiro. Essas posições deverão ser mantidas até o final da partida. Para iniciar o jogo as peças devem ser todas viradas para cima. Cada jogador, na sua vez, deve escolher um número do tabuleiro, retirar esse número para si e colocar no seu lugar o corinha (a estrela), lembrando-se, sempre, que deverá jogar na posição que escolheu anteriormente (linha ou coluna). O segundo jogador deverá escolher outro número na mesma linha ou coluna em que o coringa foi colocado pelo jogador anterior, retirá-lo para si e colocar no seu lugar a estrela e assim sucessivamente. O jogo termina quando não restarem mais números no tabuleiro ou quando um jogador não puder fazer mais nenhuma movimentação. O vencedor será aquele que conseguir o maior saldo de pontos.
Desdobramento: Podemos desenvolver junto aos alunos maneiras de resolução envolvendo soma e subtração dos números inteiros, como por exemplo: mostrando a eles a soma entre números simétricos que se anulam e, também, apresentando a multiplicação de forma natural. Ao final da partida, no somatório dos pontos, é apresentado o conceito de desigualdade ou, se houver empate numérico, igualdade.
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Assuntos trabalhados: Trabalhar com expressões numéricas, envolvendo as quatro operações fundamentais, desenvolver processos de estimativa, cálculo mental e tabuada.
Introdução: Refletir sobre habilidades matemáticas como cálculo mental, estratégias de análise de possibilidades e compreender a necessidade do desenvolvimento de uma linguagem própria na resolução de problemas matemáticos.
Vídeo da atividade: inserir link
Material utilizado: : Tabuleiro, 25 fichas de uma cor (exemplo: vermelho), 25 fichas de cor diferente (exemplo: azul) e 3 dados.
Molde da atividade
Descrição: O jogo pode ser feito com dois jogadores ou duas duplas. Os jogadores decidem quem inicia o jogo. Cada jogador começa o jogo com 60 pontos e jogam alternadamente. Na sua vez, o jogador joga os três dados e constrói uma sentença numérica, usando operações básicas, com os números obtidos nos dados. Por exemplo, com os números 2, 3 e 4 construir (2+3) x 4 = 20. O jogador, neste caso, cobrirá o espaço marcado com o 20, usando um marcador de sua cor. Só é permitido utilizar as quatro operações básicas. Contagem de pontos: um ponto é ganho quando se coloca um marcador num espaço desocupado que seja vizinho a um espaço que já tenha outro marcador (horizontalmente, verticalmente ou diagonalmente); a dupla subtrai de 60 (marcação inicial) o ponto ganho. Colocando-se outro marcador num espaço vizinho, junto a um espaço já ocupado, mais pontos poderão ser ganhos; por exemplo, (veja o tabuleiro) se os espaços 0, 1 e 27 estiverem ocupados, o jogador ganharia 3 pontos colocando um marcador no espaço 28. A cor dos marcadores dos espaços ocupados não importa para essa contagem. Os pontos obtidos numa jogada são subtraídos do total de pontos de cada um. Se um jogador construir uma sentença errada o adversário pode acusar o erro, ganhando com isso dois pontos, a serem subtraídos do seu total (aquele que errou deve retirar seu marcador do tabuleiro e corrigir seu total de pontos, caso já tenha efetuado a subtração). Se uma dupla passar sua jogada, por acreditar que não é possível fazer uma sentença numérica com aqueles valores dos dados e, se a dupla adversária achar que é possível fazer uma sentença com os dados jogados pelo colega, ela pode fazê-la, antes de fazer sua própria jogada. Se estiver correta, a dupla que fez a sentença ganhará o dobro do número de pontos correspondentes e em seguida poderá fazer sua própria jogada. O jogo termina quando uma das duplas consiga colocar cinco marcadores da mesma cor, em linha reta, sem nenhum marcador do adversário intervindo. Essa linha poderá ser horizontal, vertical ou diagonal. O jogo também acaba se acabarem os marcadores de uma das duplas. Nesse caso a dupla vencedora será aquela que tiver o menor número de pontos.
Desdobramento: De acordo com o tabuleiro, os alunos podem responder os seguintes itens:
a) Qual é o menor número que existe no tabuleiro? Com os números 3 e 4 você consegue obter esse número?
b) Quais números nos dados e quais operações são necessárias para que você obtenha o resultado 12? Escreva 4 possibilidades.
c) Usando apenas multiplicações, qual é o maior número do tabuleiro que se pode obter? Escreva a sentença matemática correspondente.
d) Bia e Ana, na sua vez de jogar, tiraram nos dados os números 3, 4 e 6. Escreva 5 possibilidades de resultados com esses valores.
e) Suponha que o tabuleiro esteja com as casas 9, 12, 15, 31, 36, 66 e 75 ocupadas. Qual é o maior número de pontos que a dupla pode fazer? Para isso, em qual casa colocarão sua ficha?
f) Em outra partida, é a vez de Alexander e Fábio jogarem. Eles estão com a ficha vermelha e já ocuparam as casas 7, 66, 144 e 180. Para ganhar o jogo, que valores eles precisam tirar nos dados? E que operações precisam fazer?
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Assuntos trabalhados: Adição, subtração, divisão e multiplicação
Introdução: O objetivo é trabalhar expressões matemáticas, incentivando a criatividade e o cálculo mental. O jogo pode possuir dois ou mais participantes. Cada jogador joga alternadamente 3 dados. O objetivo é chegar primeiro no número 9.
Vídeo da atividade: https://www.youtube.com/ASDM
Material utilizado: : 3 dados e uma cartela para registro das posições dos participantes.
Descrição: Para chegar no 1, a dupla precisa conseguir encontrar uma expressão envolvendo as 4 operações, podendo usar parênteses, envolvendo uma única vez cada número tirado nos dados. Por exemplo, se a dupla que jogou os dados tirou 2,3,5,
ela pode escrever (5-3)/2 =1 e avançar para o número 1. Após a apresentação do resultado, que deve ocorrer por escrito em até 1 minuto, a outra dupla também tema chance de avançar, caso apresente por escrito, imediatamente após a resposta da primeira dupla, uma solução diferente. Neste caso, seria possível apresentar (2+3)/5=1. Para chegar no 2, é preciso antes ter alcançado o 1. O objetivo é então que a expressão com os três números resulte em 2, e assim por diante, até alguma das duplas atingir o número 9.
Desdobramento: Podemos explorar com os alunos o uso dos parênteses nas operações. Por exemplo, observando que (6 /2)x3 =9 e 6/ (2x3)=1. É interessante pedir que os alunos analisem algumas configurações, tentando observar aquelas que são mais versáteis, ou seja, aquelas que conseguimos formar mais números naturais entre 1 e 9. Os estudantes costumam se envolver bastante com esta atividade, que propicia a criatividade e o uso correto das expressões aritméticas.
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1)Almeida, M. F., Silva, U. Equação e função quadrática por meio de jogos e problemas. Oficina apresentada no IX Encontro Nacional de Educação Matemática. Belo Horizonte, 2007.
2)Alves, E.M.S. A ludicidade e o ensino da Matemática 3.ed. São Paulo: Papirus Editora, 2001.
15)Lima, E. L. et al – Temas e Problemas Elementares. 2ª Edição. Coleção Professor de Matemática – SBM. Rio de Janeiro, 2005.
16)Revista do professor de Matemática.
17)Sá, I. P. A magia da matemática: atividades investigativas, curiosidades e histórias da matemática. Ciência Moderna. Rio de Janeiro, 2007.
18)Tiago Berto Soares.Mágicas e Matemática- Dissertação de Mestrado.